En büyük sayı olmadığını herkes bilir. Yani sayıların sonu yoktur.
Diğer bir değişle sonsuz tanedir. Bu durumda sonsuz kavramını ilk
benimsemesi gerekenler matematikçiler olmalıyken neden uzun süre buna
soğuk bakmışlardır? Bunun cevabını Galileo paradoksunda görebiliriz.
Galileo her sayı ile onun iki katı arasında aşağıdaki gibi birebir eşleme
yapılabileceğini göstermiştir.

1,2,3, … , n, …
2,4,6, …, 2n, …

Diğer bir değişle, iki sırada da aynı sayıda sayı var gibi görünüyor.
Oysa biliyoruz ki çift sayılar bütün sayıların
sadece yarısı olduğundan ortada bir çelişki var.

Hilbert’in otelinde sonsuz sayıda oda vardır ve bu odalar 1, 2, 3, …
şeklinde pozitif tam sayılarla numaralandırılır. Tüm odaların dolu
olduğu bir hafta sonu otele rezervasyonu olmayan bir müşteri gelir
ve bir oda ister. Resepsiyon görevlisi, bu müşteriyi geri çevirmek istemez
ve ona bir oda bulmaya karar verir. Nasıl mı?

Öncelikle Hilbert’in otelinde hiçbir zaman boş oda bulunmaz ancak yeni
müşteriler için her zaman yer bulunabilir. Bu çelişkili durum sonsuzluk kavramıyla
ilgilidir. Alman matematikçi David Hilbert’in bu düşünce deneyi, bizlere imkânsız
gibi görünen sonuçlara nasıl ulaşılabildiğini sonsuzluk kavramının incelikleriyle gösteriyor.
Gelelim şimdi yukarıdaki sorunun cevabına.

Görevli 1. odada kalan kişinin 2. odaya, 2. odadakinin 3. odaya, 3. odadakinin
ise 4. odaya taşınmasını ister. Bu şekilde devam edildiğinde n. odadaki kişi,
n+1. odaya geçmiş olur. Böylece 1 numaralı oda boşalır ve görevli yeni gelen

müşteriye bu odayı verebilir. Hilbert’in otelinde sonsuz sayıda oda olduğu için
her yeni gelen müşteriye bu şekilde bir yer bulunabilir. Fakat oda sayısı sınırlı
olan herhangi bir otelde otelin ne kadar çok odası olursa olsun bu yöntemin
işe yaramayacağını hepimiz biliyoruz. Çünkü sınırlı bir otelde en büyük numaralı
odada kalan kişinin taşınabileceği yeni bir oda bulunmaz.